BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kedisktritan suatu sistem dapat dilihat dari perubahan keadaan sistem dari waktu ke waktu. Jika perubahan keadaan yang terjadi hanya pada waktu tertentu, bukan pada setiap titik waktu, maka dikatakan sistem diskrit. Dalam hal lain dikatakan sistem kontinu. Dalam membuat suatu simulasi, harus sesuai dengan perilaku sistem. Dari sistem diskrit, akan dijumpai variabel diskrit, untuk sistem kontinu, akan dijumpai variabel kontinu. Contoh mendapatkan variabel diskrit dengan menghitung jumlah produk cacat, jumlah sumber daya manusia, jumlah mesin yang dibutuhkan. Contoh mendapatkan variabel kontinu dengan menggunakan alat ukur, berat kemasan, tekanan udara, waktu antar kedatangan, waktu proses.Dari variabel diatas didapatlah data pengamatan, tidak hanya sifatnya yang harus kita ketahui, tetapi pola penyebarannya juga harus kita ketahui, maka kita pelajari mengenai pola distribusinya. Agar simulasi yang kita lakukan nantinya sesuai dengan keadaan yang sebenarnya.
1.2 Tujuan
1.2.1 Untuk mengetahui bagaimana pembuktian rataan, varians dan fungsi pembangkit momrn dari distribusi uniform diskrit
1.2.2 Untuk mengetahui bagaimana fungsi densitas distribusi eksponensial
1.2.3 Untuk mengetahui bagaimana pembuktian rataan, varians dan fungsi pembangkit momen dari distribusi eksponensial.
1.2.1 Untuk mengetahui bagaimana pembuktian rataan, varians dan fungsi pembangkit momrn dari distribusi uniform diskrit
1.2.2 Untuk mengetahui bagaimana fungsi densitas distribusi eksponensial
1.2.3 Untuk mengetahui bagaimana pembuktian rataan, varians dan fungsi pembangkit momen dari distribusi eksponensial.
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Distribusi Uniform Diskrit ( Seragam Distribusi)
Distribusi Uniform Diskrit ( Seragam Diskrit) adalah probabilitas distribusi sederhana yang semua peubah acaknya mempunyai probabilitas yang sama.
Bila peubak acak X mendapat harga X1, X2,,,,,,Xn dengan peluang yang sama maka distribusi uniform diberikan oleh :
P( X= x)= dengan x= X1, X2,………….., Xk
Lambang f(x;k) sebagai pengganti f(x), yang menunjukan bahwa distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter x.
Mean (X), =
Varians(X), σ² = 2
Bukti: Mean (X), = E(X)=
=
=
Varians(X), σ²= E(X-μ)2 = f(x;k)
=
= 2
Contoh:
1. Sebuah dadu seimbang dilemparkan satu kali, maka tiap unsur dalam ruang sampel S={1, 2,3 4, 5, 6}. Muncul dengan probabilitas 1/6. Jadi jika X menyatakan mata dadu yang muncul, maka X terdistribusi peluang seragam (uniform) yakni f(x;6)=1/6, untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Penyelesaian:
Menurut Definisi:
Mean (X), =
Varians(X), σ² = 2
Cari mean dan variansi dari contoh diatas:
Jawab: = = 3,5
σ²=
= + + + : 6
=
= =
2.3 Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial ini diperoleh dari distribusi gamma dengan α = 1 dan β= θ. Sehingga kita peroleh definisi distribusi eksponensial berikut:
Ø Fungsi Densitas Eksponensial
Peubah X dikatakan berdistribusi eksponensial, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:
F(x)= ( ). e ; x > θ, θ > 0
= 0 ; x lainnya.
Peubah acak X yang bersistribusi eksponensial di sebut juga peubah acak eksponensial. Penulisan notasi dari peubah acak X berdistribusi eksponensial adalah Exp(x; θ), artinya peubah acak X berdistribusi eksponensial dengan parameter θ.
Peubah acak X yang berdistribusi eksponensial dengan parameter θ bisa juga ditulis sebagai:
X~ Exp (θ)
Ø Parameter Distribusi Eksponensial
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi eksponensial dirumuskan sebagai berikut.
1. µ= θ
2. σ2 = θ
3. Mx(t) = (1- θt)-1 ; t <
Bukti :
1. Berdasarkan definisi rataan kontinu, maka:
µ= E(X) = . f(x) dx
= . f(x) dx + . f(x) dx
= . 0 dx + . dx
= 0+ . dx
= . dx
Integral di atas diselesaikan dengan menggunakan integral parsial.
Misalnya : u = x, maka du= dx
dv = dx, maka v= -θ .
µ= E(x) =
=
=
=
µ= E(x)= θ (terbukti)
2. Berdasarkan definisi varians, maka:
σ² = Var(x) = E(X²)-
dengan:
E(X²) = . f(x) dx
= . f(x)dx+ . dx
= .0 dx + . dx
= 0+ . dx
Integral ini diselesaikan dengan menggunakan integral parsial.
Misalnya: u= x2, maka du= 2x dx
dv= dx, maka v= -θ.
E(X2) =
Integral yang ada di dalam kurung diselesaikan dengan menggunakan integral parsial.
Misalnya: u= x, maka du= dx
dv= dx, maka v= -θ.
E(X2) =
=
=
= (0-0-0 2θ³)
E(X2) = 2θ²
Maka : σ²= Var(X) = 2 θ²- θ²
σ²= Var(X) = θ² (terbukti)
3. Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen kontinu, maka:
Mx(t) = . f(x) dx
= . f(x) dx + . f(x) dx
= .0 dx+ . dx
= 0 + dx
= dx
=
=
= (1- θt)-1
= (1- θt)-1. (0+1)
M(x)t = (1-θt)-1; t< (terbukti).
Contoh soal:
1. Suatu sistem memuat sejenis komponen yang mempunyai daya tahan pertahun dinyatakan oleh perubah acak T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter waktu rata-rata sampai gagal Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasangkan dalam sistem yang berlainan, berapa pobabilitas bahwa paing sedikit 2 masih akan berfungsi pada akir tahun ke delapan.
Penyelesaian:
Probabilitas bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi setelah 8 tahun adalah:
P (T > 8) = dt=
=
= 0,2
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Distribusi uniform diskrit disebut juga seragam diskrit adalah probabilitas distribusi diskrit yang paling sederhana. Bila Variabel acak X mengambil nilai-nilai X1, X2,……..Xk dengan probabilitas yang sama maka probabilitas distribusi diskrit diberikan f(x,k)= = X1, X2, X3,……..Xk . Pada distribusi probabilitas seragam, probabilitas adalah sama untuk k sel sehingga p = 1 / k. Pada distribusi seragam, tidak ada parameter penentu sehingga m = 0 dan
n = k - m - 1 = k -1
Sedangkan distribusi eksponensial diperoleh dari distribusi gamma dengan α=1 dan β= θ. Distribusi eksponensial memainkan peranan penting dalam teori antrian dan teori keandalan ( reliabilitas).
DAFTAR PUSTAKA
Herrhyanto, Nar (2009). Pengantar Statistika Matematis. Bandung: CV. Yrama Widya.
Suprianto,Hary (2009). Pengantar Statistika Matematika. Yogyakarta: Media Graffindo Press
